Tangencias, enlaces, curvas, igualdad, semejanza y simetrías.


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1. Conceptos básicos

Una recta y una circunferencia, o dos circunferencias, son tangentes cuando tienen un único punto común.
En una relación de tangencia entre una recta y una circunferencia, se cumple que:
  • El radio de la circunferencia es perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia.
  • La distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es igual al radio.
external image fig_39.gifFig. 39
Cuando dos circunferencia son tangentes, se cumple que:
  • Sus centros están alineados con el punto de tangencia.
  • La suma (si son exteriores) o diferencia (si son interiores) de los radios es igual a la distancia entre sus centros.
De las propiedades anteriores se desprende, que el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a una recta en un punto, es la perpendicular a la recta en ese punto.
Y que el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a una circunferencia en un punto de ella, es la recta definida por centro y el punto de tangencia.

Potencia de un punto respecto a una circunferencia.

Si trazamos un haz de rectas secantes desde un punto P a una circunferencia, el producto de los segmentos comprendido entre el punto P y los puntos de intersección de las rectas con la circunferencia.
La potencia es igual al cuadrado de la distancia del punto P, al punto de tangencia de una recta tangente a la circunferencia, trazada desde P. (Fig. 40)
PA x PA' = PB x PB' = ... = PN x PN' = PT²
external image fig_40.gifFig. 40external image fig_41.gifFig. 41
Eje Radical es el lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto a dos circunferencias.
El eje radical de dos circunferencias secantes, es la recta que une los puntos de intersección de ambas circunferencias.
El de dos circunferencias tangentes, es la recta tangente común a ambas circunferencias en el punto de tangencia.
Para hallar el eje radical de dos circunferencias exteriores se traza una circunferencia auxiliar secante a las dadas. Por el centro radical de las tres circunferencias trazamos una perpendicular a la recta que una los centros de las circunferencias exteriores. (Fig. 41)
Centro Radical es el punto que tiene igual potencia respecto a tres circunferencias. Se encuentra en la intersección de los ejes radicales de las circunferencias tomadas dos a dos.

2. Casos.

La mayoría de los problemas de tangencia se resuelven aplicando los conceptos de lugares geométricos, por suma y diferencia de radios, y por potencia.
Se pueden pedir rectas tangentes a circunferencias, o circunferencias tangentes a rectas y, o circunferencias. Cuando se piden circunferencias, se pueden fijar tres condiciones, pasar por un punto, ser tangente a una recta y ser tangente a otra circunferencia. La combinación de estas tres condiciones nos dan 10 casos, que se representan por combinación de las iniciales P, R, y C. Cuando no se fijan las tres condiciones es necesario dar algún dato, como el radio o los puntos de tangencia.

Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior.

Con centro en el punto medio del segmento OP, se traza una circunferencia que pase por los extremos O y P. Las intersecciones de la circunferencia auxiliar con la circunferencia dada son los puntos T1 y T2, de tangencia. (Fig. 42)
Esto se explica, por que al ser recto el ángulo que forman el radio y la tangente en el punto de tangencia, éste debe encontrarse en el arco capaz del ángulo recto respecto al segmento OP.
external image fig_42.gifFig. 42external image fig_43.gifFig. 43

Rectas tangentes comunes a dos circunferencias.

Trazamos una circunferencia auxiliar, concéntrica con la mayor, de radio igual a la diferencia de los de las dadas. Otra circunferencia que pase por los extremos de OO' y centro en su punto medio, la corta en los puntos A y B. Los radios OA y OB, determinan los puntos de tangencia sobre la circunferencia mayor. Los radios que pasan por los puntos de tangencia de ambas circunferencias con la misma recta, son paralelos. (Fig. 43)
Si la primera circunferencia auxiliar es igual a la suma de los radios se obtienen las tangentes interiores. (Fig. 44)
external image fig_44.gifFig. 44external image fig_45.gifFig. 45

Circunferencias tangentes comunes a una circunferencia y una recta.

Si el dato es el radio r' de las circunferencias, los centros distarán r' de la recta, y r + r' ó r - r' del centro de la circunferencia dada. Las intersecciones de los lugares geométricos determinan los centros de las soluciones. (Fig. 45)
Si el dato es el punto de tangencia en la circunferencia, la tangente a la circunferencia en ese punto es el eje radical de las soluciones. La intersección del eje radical con la recta dada es centro radical de las tres circunferencias, es decir, la distancia de ese punto a los puntos de tangencia es la misma. (Fig. 46)
external image fig_46.gifFig. 46external image fig_47.gifFig. 47
Si el dato es el punto de tangencia en la recta, los centros se encuentran en la perpendicular a la recta por dicho punto. Si trazamos la circunferencia tangente a una recta auxiliar, paralela a la recta dada a una distancia igual al radio de la circunferencia dato, pasando por el centro C, y posteriormente restamos el radio, obtenemos una de las soluciones. (Fig. 47)

Caso PPP.

El centro de la circunferencia equidista de los tres puntos, por tanto, se encuentra en la intersección de las mediatrices de los segmentos formados por los puntos. (Fig. 48)
external image fig_48.gifFig. 48external image fig_49.gifFig. 49

Caso PPR.

La recta que pasa por los puntos dados es el eje radical de las soluciones y de la circunferencia auxiliar trazada por A y B, El punto M es el centro radical de las tres circunferencias, por tanto, tiene igual potencia respecto a las tres. Trazando una recta tangente a la circunferencia auxiliar obtenemos la potencia. Si llevamos el segmento MT, sobre la recta, determinamos los puntos T1 y T2. De esta manera tenemos tres puntos de cada solución. (Fig. 49)
external image fig_50.gifFig. 50external image fig_51.gifFig. 51

Caso PRR.

Si se dibuja el simétrico del punto dado respecto a la bisectriz, el caso se resuelve como el PPR, siendo R cualquiera de las rectas.

Caso RRR.

Los centros de la soluciones son los cuatro puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos que forman las tres rectas. (Fig. 50)

Caso PPC.

Se traza una circunferencia auxiliar que pasando por los puntos A y B dados, corte a la circunferencia también dada. La recta que une los puntos de intersección de la circunferencia auxiliar con la circunferencia dada, es el eje radical de ambas circunferencias; y la recta AB, es el eje radical de las soluciones y de la auxiliar. El punto M, es por tanto, el centro radical de todas las circunferencias.
Las tangentes trazadas a la circunferencia dada, desde el punto M, determinan los puntos de tangencia sobre la circunferencia.
Como los puntos de tangencia están alineados con los centros de las circunferencias, los centros de las soluciones se hallaran en los radios de la circunferencia dada, que pasan por los puntos de tangencia T1 y T2 . Evidentemente, los centros de las soluciones también se encuentran en la mediatriz de AB. (Fig. 51)

3. Enlaces

Enlaces son las uniones armónicas por medio de tangenias entre distintas figuras.
Para resolver problemas de tangencia hay que tener presente las dos propiedades fundamentales de las tangencias:
  • El radio que pasa por el punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.
  • Los centros de dos circunferencias tangentes están alineados con el punto de tangencia.

Trazados de enlaces

Enlace de dos rectas.

Para definir el problema se necesita conocer el radio o un punto de tangencia. Si conocemos el radio, trazamos paralelas a las rectas dadas, a una distancia igual al radio, obteniendo el centro del arco en su intersección. Los puntos de enlace se hallan trazando perpendiculares por el centro del arco a las rectas tangentes.
Si el dato es el punto de tangencia, la perpendicular trazada por el punto de tangencia a la recta, y la bisectriz del ángulo que forman, se cortan en el centro del arco. (Fig. 52)
external image fig_52.gifFig. 52external image fig_53.gifFig. 53

Enlace de dos arcos.

Dándonos el radio, las circunferencias concéntricas de radios iguales a la suma y diferencia, determinan los centros del arco de enlace. Sabemos que los puntos de enlace están alineados con los centros. (Fig. 53)

Enlace de arco y recta.

Las paralelas a la recta a una distancia igual al radio dado y las circunferencias concentricas de radios la suma y diferencia, determinan los centros. (Fig. 54)
external image fig_54.gifFig. 54external image fig_55.gifFig. 55

4. Curvas técnicas

Construcción del óvalo conociendo los ejes.

El óvalo es una curva cerrada compuesta por cuatro arcos de circunferencia tangentes entre sí.
Se transporta la magnitud del semieje mayor sobre el semieje menor y obtenemos el punto E. Con centro en C y radio CE determinamos sobre la recta AC, el punto F. La intersección de la mediatriz del segmento AF con los ejes del óvalo, son centros de dos de arcos de la curva. Los otros dos se obtienen por simetría, y los puntos de tangencia por intersección de las rectas que unen los centros con los arcos. (Fig. 56)
external image fig_56.gifFig. 56external image fig_57.gifFig. 57

Construcción del ovoide del que se conoce el eje menor.

La mediatriz del eje AB, al cortar con la circunferencia de diámetro la magnitud de dicho eje y centro su punto medio, determina el centro de uno de los arcos del ovoide. Los otros centros son los extremos y el punto medio de AB. (Fig. 57)

Espiral de dos centros.

Con centro en uno de los puntos y radio la distancia entre ellos, se traza un primer arco que determina, sobre la recta que los une, el primer punto de tangencia.
La distancia del segundo centro al punto de tangencia hallado, es el radio del segundo arco. (Fig. 58)
external image fig_58.gifFig. 58external image fig_59.gifFig. 59

Espiral de tres centros.

Prolongamos los lados de un triángulo equilátero cuyos vértices son los centros de la espiral. Hacemos centro en el primer vértice con radio igual al lado y trazamos el primer arco hasta cortar la prolongación del primer lado. (Fig. 59)

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