Polígonos regulares

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Introducción al mundo de las formas

El mundo que te rodea está lleno de formas. Pero, ¿por qué puedes verlas?, ¿cómo funcionan tus ojos para captarlas?, ¿es necesario algún tipo de comprensión o de aprendizaje previo para que las entiendas?
Los estudios sobre percepción visual te responden a alguna de estas preguntas: ves una forma cuando tu sentido de la vista es capaz de distinguir una figura que destaca sobre un fondo que continúa por debajo de ella. En este fenómeno se produce lo que se denomina salto visual. Al borde visual que separa la figura del fondo se le llama contorno de la forma.
Observa la imagen de John Pfahl, como introduce formas geométricas en un entorno natural para crear una unión estética y simple.
Una manera de acercarte al universo de las formas es intentar clasificarlas. Por ejemplo, tienes:
· Las formas simples y complejas: según la cantidad de elementos que contienen, lo complicada que sea su estructura o el bagaje cultural de que dispongas.
·Las formas figurativas y abstractas: según sea su grado de parecido con respecto a la realidad.
·Las formas planas y volumétricas: dependiendo si tienen dos o tres dimensiones.
·Las formas abiertas y cerradas: si la sensación de movimiento que transmiten es hacia dentro (forma concéntrica o cerrada) o hacia fuera (forma excéntrica o abierta).
·Las formas naturales y artificiales: así sea su origen, si están hechas libremente por las fuerzas de la naturaleza o por la mano del ser humano.

Formas geométricas

Formas Geométricas
Formas Geométricas

Formas Geométricas
Las formas geométricas están delimitadas por rectas o curvas relacionadas entre sí por algún principio matemático. Son formas artificiales y, normalmente, propias del dibujo técnico y de la construcción de objetos útiles. Su contorno simplificado se corresponde con la necesidad, en el mundo de la industria, de producir los objetos en serie.
La línea que la dibuja tiene, por tanto, una apariencia fría y regular y es llamada grafismo. A pesar de todo esto ya veremos otros usos que dan los artistas plásticos.
En esta unidad vas a estudiar las formas geométricas bidimensionales más sencillas: triángulos y cuadriláteros. Mas adelante, en el próximo tema, verás los polígonos regulares y las curvas.
Sin embargo, no debes olvidar que a partir de estas formas planas puedes construir los cuerpos geométricos básicos con tres dimensiones: el cubo, el prisma, la pirámide, el cono, el cilindro, la esfera.
Formas geométricas planas: trazados básicos 1
Los conocimientos para construir las formas geométricas te los enseña la llamada geometría plana. Sus trazados y conceptos básicos son los que verás a continuación.
Ejercicio 1. Dos rectas que se cortan determinan un punto. Traza una recta R. Traza a continuación una recta S. Señala el punto de intersección como punto A.
rectas que se cortan determinan un
Ejercicio 2. Direcciones del espacio plano y semirrecta.
Traza la dirección horizontal y nómbrala con una letra mayúscula. Traza la dirección vertical y nómbrala igualmente con una letra mayúscula. Señala con el signo de perpendicularidad la intersección de ambas. Traza la dirección oblicua y nómbrala con una letra mayúscula. Traza la semirrecta partiendo del origen y nómbrala.
Ejercicio 3. Trazado de la mediatriz de un segmento.
Dibuja el segmento AB. Con centro en A y radio mayor que la mitad del segmento traza arcos arriba y abajo. Con el mismo radio y haciendo centro en B repite la operación. Donde se corten los arcos vas a obtener los puntos C y D que, al unirlos, determinan la mediatriz (resultado con línea más gruesa).
Ejercicio 4. Trazado de la perpendicular a una semirrecta por su origen. Traza la semirrecta r tomando como origen O. Con centro en O y radio O1 (este radio inicial puede ser de cualquier medida), describe un arco amplio hacia la izquierda. Con centros en 1,2,3 y con el mismo radio, dibuja arcos hasta que obtengas el punto 4. La unión de 4 con O determina la recta resultado (línea más gruesa).
Ejercicio 5. Copia de un ángulo. Dibuja el ángulo 102 (figura superior) con cualquier inclinación de sus semirrectas (este ángulo es el dato del problema). Con centro en 0 y radio 01 (cualquiera) traza un arco hasta que corte a la semirrecta superior. En otro lugar de la pantalla dibuja una semirrecta horizontal. Transporta sobre ella, con centro en 0, el arco anterior (01) para obtener 01'. En la figura superior, con centro en 1 y radio hasta 2 señala un arco corto. Transporta este arco sobre la figura inferior a partir de 1' hasta que corte al arco anterior en 2'. Une 0 con 2' y tienes copiado el ángulo. Debes señalar la figura inferior copiada con una línea de resultado más gruesa.
Ejercicio 6. Trazado de la bisectriz de un ángulo. Dibuja un ángulo cualquiera que tenga como vértice el punto 0. Con centro en 0 y radio cualquiera, describe un arco hasta que corte a las semirrectas del ángulo en A y B. Con centro en A y radio hasta B, traza un arco. Repite la operación con centro en B, se cortarán los dos arcos en C. Une C con 0. Esta línea es la bisectriz (resultado con línea gruesa).

Formas geométricas planas: triángulos

Clasificación de triángulos
Clasificación de triángulos

Clasificación de triángulos
Con el aprendizaje de los trazados geométricos fundamentales ya estás preparado para empezar a construir algunas formas geométricas sencillas.
Un triángulo es una porción de plano limitada por tres segmentos que son sus lados (a, b, c). Los puntos de los extremos son sus vértices (A, B, C) y se colocan siempre enfrentados a sus lados del mismo nombre.
Los tres ángulos interiores suman 180º.
Clasificación de los triángulos: Puedes clasificar los triángulos según sus lados:
  • Equilátero: tres lados iguales
  • Isósceles: dos lados iguales y uno desigual
  • Escaleno: tres lados desiguales
También puedes clasificarlos según sus ángulos:
  • Acutángulo: con tres ángulos agudos
  • Obtusángulo: con un ángulo obtuso
  • Rectángulo: con un ángulo recto.

Formas geométricas planas: construcción de triángulos
¿Qué cómo construirlos? ¡Muy fácil! ¡Aplica los conocimientos de las pantallas anteriores! Por ejemplo:
Ejercicio 7. Construye un triángulo escaleno conociendo los tres lados. Coloca uno de los lados como base del triángulo, por ejemplo el lado c cuyos extremos serán los puntos A y B. Haz centro en A y con radio igual a la magnitud del lado b (dato del problema) describe un arco amplio por encima del lado de la base. A continuación, con centro en B y radio igual al lado a, traza otro arco hasta que corte al anterior en C. Une A, B, y C y resalta el resultado con línea más gruesa.
Ejercicio 8. Construye un triángulo isósceles conociendo el lado y el ángulo desigual. Sitúa el lado desigual como base del triángulo (por ejemplo, el lado c que tiene por extremos A y B). En el extremo A coloca el ángulo desigual (dato del problema) por el procedimiento de copia de ángulos de las pantallas anteriores. Repite la operación en el extremo B. Donde se corten las semirrectas de los dos ángulos que no pertenecen al lado de la base se encuentra el vértice C que buscamos. Une A, B y C. Resalta la solución con línea gruesa.
Ejercicio 9. Construye un triángulo rectángulo conociendo sus dos catetos. Coloca uno de los catetos (un lado dado como dato) como base del triángulo. Realiza el trazado de una recta perpendicular a una semirrecta por el procedimiento de arcos de compás de las pantallas anteriores. Transporta sobre esta perpendicular la magnitud del otro cateto dato del problema para obtener el vértice que faltaba. Une los tres vértices y resalta la solución.

Formas geométricas planas: cuadriláteros

Clasificación de cuadriláteros
Clasificación de cuadriláteros

Clasificación de cuadriláteros
Un cuadrilátero es una porción de plano limitada por cuatro segmentos. Tiene, por tanto, cuatro lados y dos diagonales.
Según el paralelismo de sus lados se agrupan en:
- Paralelogramos, tienen paralelos dos a dos los lados opuestos: cuadrado, rectángulo, rombo y romboide.
- Trapecios, tienen sólo dos lados paralelos: rectángulo, isósceles y escaleno.
- Trapezoides, no tienen ningún lado paralelo.
Formas geométricas planas: construcción de cuadriláteros
Construye ahora algunos cuadriláteros:
Ejercicio 10. Rectángulo conociendo la diagonal y un lado.Toma la diagonal AC (dato) y con centro en su punto medio O dibuja la semicircunferencia de radio OA. Con centro en C y radio igual a la magnitud del lado dado traza un pequeño arco hasta que corte a la semicircunferencia en el vértice B, el cual se une con A y C. Ya tenemos la mitad del rectángulo, ahora, por paralelas se completa la totalidad según ABCD (resalta la solución).
Ejercicio 11. Rombo dado un lado y un ángulo. A partir del lado a = AB construye el ángulo en A dato del problema (mediante copia de ángulos). Lleva sobre la semirrecta obtenida de nuevo el lado a con ayuda del arco 3. Por B y D traza paralelas a los lados AD y AB para obtener el vértice C. Engrosar el resultado.
Ejercicio 12. Trapecio isósceles dadas las bases y la altura. Se conocen las bases AB (inferior), CD (superior) y la altura NM. Coloca la primera base AB y traza la mediatriz. Sobre ella transporta la altura dada y por el extremo M traza la paralela a la base AB. A partir de M y sobre esta paralela lleva MC = MD = CD/2 (la mitad de la base superior a un lado y a otro de M). Los vértices C y D completan el trapecio.

Las formas orgánicas

Rubens Drawings, DOVER
Rubens Drawings, DOVER

Rubens Drawings, DOVER PUBLICATIONS, INC., New York.
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Imagen de Arbol
Imagen de Arbol

PANADERO, E., CERDAN, G., MARTIN, R.: Ciencias Nivel III. Madrid, Editorial Bruño, 1983. PUBLICATIONS, INC., New York.
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Desierto con roca
Desierto con roca

PANADERO, E., CERDAN, G., MARTIN, R.: Ciencias Nivel III. Madrid, Editorial Bruño, 1983.
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Obra de Antoni Tápies
Obra de Antoni Tápies

“Libro-muro”, 1990. técnica mixta sobre tela, 250 x 530 cm. Antoni Tàpies. NAVARRO ARISA, J.J.: "Tàpies". En: VV.AA.: Galería de arte contemporáneo. Barcelona, Ediciones Altaya, 1999, pp. 1-13.
Las formas orgánicas están delimitadas por líneas sensibles relacionadas entre sí por alguna ley natural. Suelen ser formas naturales, pero también las encontramos como formas artificiales, sobre todo en el arte.
Su contorno es imprevisible lo que hace que exista una gran variedad de formas orgánicas: son únicas e irrepetibles. La línea que la dibuja se caracteriza por su expresividad e irregularidad y se denomina trazo. Puede aparecer o desaparecer, hacerse gruesa o muy delgada. Todo depende del estado de ánimo del creador o de la orientación del objeto con respecto a la fuente de luz.

Puedes encontrar formas orgánicas en la naturaleza de origen animal, vegetal o mineral. Dentro de las origen animal hay que destacar la figura humana objeto de representación por parte de los artistas de todos los tiempos. En el arte, las formas orgánicas reciben el nombre de formas plásticas. Por ejemplo, en la pintura moderna hay tendencias que utilizan manchas y formas libres que surgen de la propia intención del autor.

En la pintura

Los artistas plásticos tienen una diferente manera de realizar sus creaciones. Observa cómo, para este fin, pueden utilizar las formas geométricas u orgánicas.
Para ello, te presentamos dos cuadros abstractos.
La imagen de la izquierda es un cuadro del neoplasticista Théo van Doesburg (Uttrecht 1883 - Davos 1931). La regularidad de la composición está basada en un conjunto de rectas oblicuas (grafismo) que se cortan formando 90º. Los colores planos aparecen sin ningún efecto de claroscuro y la simplicidad propia de este movimiento artístico hacen que apenas se note el gesto del autor. Es un cuadro que utiliza las formas geométricas para transmitirte la sensación de orden, claridad y juego de combinaciones.
La imagen de la derecha es un cuadro del expresionista abstracto americano Jackson Pollock (1912 - 1956). Este pintor quiere mostrarte toda la expresividad y movimiento que ejerce en el acto de la pintura. Inventa la técnica del dripping: deja caer chorros de pintura sobre la tela variando la distancia y los colores. Observa cómo las líneas y formas son muy irregulares y únicas (los trazos son casi imposibles de repetir). Son formas orgánicas.

En la escultura

“Retrato de Mademoiselle Pogony” (Tate Gallery, Londres), 1920, Constantin Brancusi
“Retrato de Mademoiselle Pogony” (Tate Gallery, Londres), 1920, Constantin Brancusi

“Retrato de Mademoiselle Pogony” (Tate Gallery, Londres), 1920, Constantin Brancusi. Fuente: CONIL LACOSTE, Michel: “Escultura del siglo XX”. En: VV.AA.: Historia del Arte. Tomo 10. Barcelona, Salvat Editores, S.A., 1982, pp. 191-241.
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“Hombre andando” (Kunsthaus, Zurich), 1949.  Alberto Giacometti
“Hombre andando” (Kunsthaus, Zurich), 1949. Alberto Giacometti

“Hombre andando” (Kunsthaus, Zurich), 1949. Alberto Giacometti.Fuente: CONIL LACOSTE, Michel: “Escultura del siglo XX”. En: VV.AA.: Historia del Arte. Tomo 10. Barcelona, Salvat Editores, S.A., 1982, pp. 191-241.
La figura humana ha sido un tema habitual en la historia de la escultura.
Te presentamos dos esculturas modernas figurativas.
En la imagen de la derecha, Alberto Giacometti utiliza las formas orgánicas, los volúmenes rugosos. Puedes ver cómo es posible utilizar la imaginación en la creación de objetos naturales. Él no copia de la realidad, sino que las esculturas salen de su memoria y las somete, según su filosofía, a un proceso de estilización y alargamiento. Lo original es que también se aprecian rasgos de formas de arte primitivas a pesar de ser un escultor moderno.
En la imagen de la izquierda, Constantin Brancusi utiliza formas geométricas para su cabeza de mujer. Es una de las numerosas versiones que hizo del retrato de la famosa bailarina.
Lejos de formas accidentales, el artista busca la pureza de la redondez, la línea curva y la simplicidad más básica. Es normal que en sus esculturas encuentres el símbolo de lo permanente y universal: el óvalo. En la imagen apenas está diferenciado, sólo para sugerirte los rasgos de un rostro. Sus volúmenes son tensos, las superficies son lisas y de gran unidad con la masa. Es un estilo muy austero en el que puedes apreciar un gran conocimiento del oficio y del material.

La geometría en las formas orgánicas


La naturaleza nos ofrece una gran variedad de formas pero todas tienen algo en común: son eficaces, funcionan correctamente con una gran economía de medios.
En las formas naturales no suele haber nada superfluo, lo que parecen adornos son, en realidad, elementos que cumplen una precisa función dirigida a la reproducción o conservación de la especie.
Las formas orgánicas naturales suelen ser el resultado de una estructura interna geométrica, aunque a veces no sea fácil apreciarla a simple vista.
Para la representación plástica de las formas naturales se suele acudir también a las formas geométricas, por ejemplo, como auxilio en el encaje simplificado de un dibujo, una pintura o la devastación inicial del bloque de material en una escultura.
Como decía el pintor Paul Cézanne, todas las formas de la naturaleza pueden ser reducidas a las tres formas geométricas primitivas del cilindro, el cono y la esfera.
Será en la próxima unidad didáctica donde trataremos más a fondo este tema de la estructura de la forma. Aún así, a modo de aperitivo, puedes observar en la imagen de la pera cómo las formas orgánicas y las geométricas están relacionadas.
Toda la información de esta página está extraída íntegramente del CNICE.