La perspectiva Cónica


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(fotografía de Branislav Kropilak)



ORÍGENES
Los diversos teoremas de los matemáticos, en particular este de Gerard Dèsargues (1593 - 1662) nos plantea las propiedades de un nuevo concepto del espacio, muy utilizado intuitivamente por muchos pintores desde el Renacimiento; esta expresión del espacio, basado en la proyectividad y los puntos del infinito, se encuentra a mitad de camino entre las concepciones espaciales de la geometría euclidiana y las topológicas.
Este sencillo, pero fundamental teorema, es la base de la perspectiva cónica que, apoyado en la geometría proyectiva, constituye uno de los más sólidos, bellos y lógicos edificios creados por la mente humana para expresar un espacio tridimensional sobre la superficie del plano. Como dice M. Kline: "En el lugar de las matemáticas hay muchas moradas, y de entre ellas, la más elegante es la Geometría Proyectiva". Y sentencia A. Cayley: "La Geometría Proyectiva es toda la geometría".


001. Teorema de Desargues. Dibujo del autor.
001. Teorema de Desargues. Dibujo del autor.


TEOREMA DE DÈSARGUES:

Si dos triángulos están en perspectiva desde un punto, y si sus pares de lados correspondientes se cortan, entonces los tres puntos de intersección están alineados. (X-Y-Z)


También:

Si dos triángulos ( A B C abc ) están en perspectiva desde un punto ( O ), entonces están en perspectiva desde una recta ( X Y Z )

Ahora las propiedades entre dos figuras (los triángulos ABC - abc), ya no son de congruencia, semejanza, equivalencia, etc. sino que se trata de propiedades de "colinealidad" (puntos sobre una misma recta) "concurrencia" (líneas que pasan por un punto) y todas las consecuencias de la proyectividad y las secciones planas.
La ilustración que exponemos explica gráficamente que las propiedades del teorema se conservan tanto en el plano como en el espacio.
En este último caso, al constituir cada triángulo un plano diferente, los puntos XYZ, se encuentran en la recta de intersección de ambos planos.
También pueden interpretarse estas propiedades como las secciones planas de la pirámide cuyo vértice es O, y sus aristas OAa, OBb, OCc.
La recta XYZ, lugar de concurrencia de los lados de los triángulos, constituye una recta del infinito, como ocurre en el caso extremo (cuando los triángulos se encuentren en planos paralelos); en este acceso al infinito, como lugares propios de la geometría, estriba la gran originalidad del teorema de Dèsargues para representar el espacio.


LOS ELEMENTOS DE LA PERSPECTIVA CÓNICA

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Elementos del sistema cónico de perspectiva

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Perspectiva cónica de una recta oblicua e inclinada



Basado en los principios del teorema arguesiano se adaptan los elementos a la perspectiva geométrica, la cual, a su vez, establece un paralelismo con el fenómeno visual.
Los dos planos verticales PP (cuadro o plano de representación), PD (plano posicional del espectador), acotan tres zonas del espacio: ESPACIO REAL, ESPACIO INTERMEDIO y ESPACIO VIRTUAL.
El punto V (punto de vista del espectador) es el centro O en el teorema. El Plano horizontal que pasa por este punto, constituye el PLANO DEL HORIZONTE. Su intersección con el cuadro (PP) determina la altura o LÍNEA DEL HORIZONTE. El PUNTO PRINCIPAL (P) es la proyección ortogonal del punto de vista V.
EL PLANO GEOMETRAL es paralelo al horizontal, y representa un plano de referencias métricas. Determinando la recta (LT) línea de tierra, eje XYZ del teorema.



PARALELISMO ENTRE EL SISTEMA GEOMÉTRICO Y EL FENÓMENO VISUAL
1. El espacio real es, como norma general, el lugar donde se encuentran los objetos que vamos a representar, observados con un solo ojo desde V;
2. Los rayos visuales dirigidos a los objetos desde V, son interceptados por el plano PP, produciendo un dibujo perspectivo, punto a punto, de los objetos situados en el espacio real;
3. El espacio intermedio es la zona situada entre el ojo del espectador y el cuadro PP; también es lugar geométrico de ciertas de operaciones auxiliares;
4. El espacio virtual está situado detrás del espectador, y si no es visible por este, sí tiene influencia sobre el espacio real, p.e. un foco luminoso, imagen reflejada en un espejo, proyecciones inversas, etc;
5. El plano geometral representa un suelo ideal y sirve de referencia para cotas y distancias; creando la línea de tierra (LT) o recta doble en su intersección con el plano de proyección PP, y, por ello, con base métrica;
6. El plano horizontal define la línea del infinito geográfico que separa el mar del cielo, y la altura o cota a que el espectador contempla la escena.


Desde el más temprano Renacimiento intuyeron los artistas los principios geométricos de la perspectiva cónica. Basándose en métodos empíricos asociaron los principios de la visión del espacio con las representaciones en perspectiva sobre el plano, creando particulares y originales perspectivas.
Las construcciones espaciales sobre el plano de Uccello, Alberti, Piero de la Francesca, Leonardo, Rafael, Durero o Da Vignola nos testimonian que llegaron a fórmulas felices, mucho antes que el teorema de Girard Desargues estableciera definitivamente el rigor matemático de la geometría proyectiva, que Gaspar Monge, desarrollando su geometría descriptiva, y J.V.Poncelet con su Tratado de las propiedades proyectiva de las figuras, abriesen el camino a los trazados geométricos de la perspectiva cónica.
En la figura que encabeza esta página presentamos un dibujo del Tratado de Perspectiva de Da Vignola, aparecida en 1583. Es fácil asociar los elementos de esta perspectiva al teorema que, un siglo más tarde planteara Desargues, y que no fueron del dominio de los matemáticos hasta mucho tiempo después, cuando una copia hecha por su discípulo Philippe de la Hire, cayó en manos de Chasle, ya en el siglo XIX.




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Alberto Durero, 1538


Alberto Durero dejó constancia, tanto escrita como gráfica, de sus conocimientos e investigaciones en el campo de la perspectiva. Este es uno de los variados grabados donde nos muestra sus métodos de perspectiva práctica. Tiene la singularidad de mostrarnos en el grabado un método práctico de dibujar perspectivas del natural, pero le acompaña un trazado geométrico de gran interés, por el que manifiesta la teoría de como realizó el propio grabado: el abatimiento del punto de vista D2, sobre la línea del horizonte, para determinar la diagonal de los cuadrados de su cuadrícula y rejilla, son pruebas evidentes de una geometría descriptiva intuitiva como métodos universales, muy adelantada a su época.


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Leonardo de Vinci. Dibujo para la Adoración de los Reyes. 165 x 290 mm. Uffizi, Florencia
Y en este dibujo, donde Leonardo plantea el espacio de fondo para su inacabada Adoración de los Reyes, comenzada en 1481, se puede apreciar que los conocimientos de una perspectiva cónica lineal son del dominio del pintor. Es, ciertamente, un planteamiento frontal, sin grandes dificultades prácticas ni teóricas, pero ya en esas tempranas fechas supone un gran avance científico, al superarse los métodos empíricos y particulares por un ordenado sistema general.
Por estas y por otras muestras de algunos maestros del renacimientos, tenemos la certeza de que, por el camino del empirismo y la intuición, los pintores se adelantaros a los matemáticos en la representación de un espacio tridimensional, con la perspectiva cónica como instrumento, realizando una benemérita labor, no muy bien valorada en el terreno científico.

Puede parecer un anacronismo el plantearnos hoy los fundamentos de la Perspectiva Cónica y sus métodos geométricos de trazado lineal. Es, ciertamente, una tentación omitir, en los aprendizajes de la perspectiva, los laboriosos procesos de delineación que ocuparon muchas horas de nuestra juventud. Las nuevas tecnologías han dado un giro espectacular a los planteamientos de la representación de un espacio sobre el plano. Lo que hace poco constituía enormes dificultades, como el cambio de la escala de un dibujo, la variación del punto punto de vista, la distorsión de unas formas, la inversión simétrica, giros, abatimientos, etc. se resuelven hoy con un simple toque de "ratón". No obstante, quienes logren penetrar por la puerta de la geometría en sus singulares representaciones y transformaciones, habrá cimentado una imaginación lógica para abordar los posibles cambios que el futuro nos depara. ¡Quizás, para el arte, siga teniendo vigencia el texto en la puerta de la Academia de Platón, que rezaba: "No entre aquí quien no sepa geometría".


Toda la información de esta página está extraída íntegramente de la página de Juan Cordero Ruiz.