El Sistema Diédrico

(por Patricia)
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Introducción
En este tema vamos a empezar a hablar del sistema diédrico. Vamos a ver el punto, la recta y el plano. Veremos todos los tipos de estos tres anteriores e intentaremos explicar lo mejor posible como pasamos el punto, la recta y el plano de un espacio en 3D a una superficie de dos dimensiones.

1. Elementos del sistema diédrico
Antes de emprezar a hablar del punto, la recta y el plano vamos a hablar de lo que vamos a utilizar para estas representaciones.
Para representar cualquiera de estos en un plano 3D vamos a utilizar un eje de coordenadas pero en 3D que consta de dos planos de proyeccion completamente ortogonales que se cruyan en una linea, a esta línea la vamos a llamar Línea de Tierra (LT), y a los planos los vamos a llamar plano vertical (PV) que como su propio nombre indica es el que se representa verticalmente y el plano horizontal (PH), que es el que se representa horizontalmente.


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La proyección que vamos a utilizar para representar va a ser la proyección cilíndrica ortogonal en la que los rayos son perpendiculares al plano de proyección.



pco
pco





2. El Punto
La representación de un punto se realiza siguiendo estos pasos:
1. Se proyecta ortogonalmente el punto sobre el plano horizontal.
2. Se proyecta ortogonalmnete el punto sobre el plano vertical.



p
p




3. Se abate el plano horizontal en el sentido de las agujas del reloj. Asi conseguimos reducir el espacio a un plano.




puntoa
puntoa



Definiciones necesarias:
- Proyección horizontal del punto: es la proyección sobre el plano horizontal
- Proyección vertical del punto:es la proyección sobre el plano vertical.
- Cota del punto: es la distancia del punto al plano horizontal, es decir, la distancia desde la proyección vertical del punto a la línea de tierra. Se representa con una letra con una prima "a'".
- Alejamiento del punto: es la distancia del punto al plano vertical, es decir, la distancia desde la proyección horizontal a la línea de tierra. Se representa con la misma letra que la cota pero sin la prima "a".
- Origen: se determina sobre la linea de tierra y es el vertice del sistema de ejes ortogonales (X,Y,Z). Se determina al principio de la linea de tierra en la proyección sobre el folio.

Representación del punto:
- Distancia al origen. Indica la posición del punto respecto del origen. Si es positivo está a la derecha del origen y si es negativo está a la izquierda del origen.
- Alejamiento. Indica la posición de la proyección horizontal. Si es positivo está por debajo de LT y si es negativo está pro encima de LT
- Cota. Indica la posición de la proyección vertical. Si es positiva está por encima de LT y si es negativa esta por debajo de LT.



puntocya
puntocya




Posiciones del punto:
- Puntos situados en el primer cuadrante. La cota y el alejamiento son positivos.
- Puntos situados en el segundo cuadrante. La cota es positiva y el alejamiento es negativo.
- Puntos situados en el tercer cuadrante. La cota y el alejamiento son negativos.
- Puntos situados en el cuarto cuadrante. La cota es negativa y el alejamiento es positivo.
- Puntos situados en los planos de proyección. O la cota o el alejamiento es cero. Si está en LT ambos son cero.



pp
pp






3. La Recta
La forma de representar una recta es igual a la del punto; se siguen estos pasos:
- Se proyecta ortogonalmente la recta en el PV.
- Se proyecta ortogonalmente la recta en el PH.
- Y por último se giran el PH en sentido de las agujas del reloj y conseguiremos pasar un espacio en un plano de dos dimensiones.
_La forma más facil de representar una recta es cogiendo dos de sus puntos y representarlos en el plano, de esta forma unes las proyecciones horizontales y las verticales de los puntos.


rec
rec




Trazas de la recta:
- Traza horizontal de la recta. Es aquella que se representa proyectando ortogonalmente sobre el PH. Esta empieza a ser discontinua cuando la recta se sale del primer cuadrante. Es decir, en 3D cuando la recta transpasa el PV y en 2D cuando alguna de las dos proyecciones corta con LT. Si es esta traza la que corta entonces corta en el punto H, exactamente en h' y despues h se va a la proyeccion vertical de la recta.


th
th




- Traza vertical de la recta. Es aquella que se representa proyectando la recta sobre el PV. Esta empieza a ser discontinua cuando la recta se sale del primer cuadrante. Es decir, en 3D cuando la recta transpasa el PH y en 2D cuando alguna de las dos proyecciones corta con LT. Si es esta traza la que corta encontes corta en LT en el punto V, exactamente en v y despues v' se va a la proyeccion horizontal de la recta.

tv
tv



Posiciones de la recta:
- Rectas contenida en los planos de proyección: una recta contenida en el PH su proyección vertical está en LT y una recta contenida en PV su proyección horizontal está en LT.


rcps
rcps




- Rectas horizontal y frontal: una recta horizontal es aquella paralela al PH y su proyección vertical es paralela a LT; y una frontal es aquella paralela al PV y su proyección horizontal es paralela a LT.


rHyV
rHyV




- Rectas vertical y de punta: una recta vertical es aquella perpendicular a PH; su proyección horizontal es un punto y su proyección vertical es perpendicular a LT. Una recta de punta es aquella perpendicular a PV; su proyección vertical es un punto y su proyección horizontal es perpendicular a LT.


rVyP
rVyP




- Recta paralela a LT: sus dos proyecciones, tanto la vertical como la horizontal son paralelas a LT.


rpLT
rpLT



- Recta que corta a LT: sus dos proyecciones se cortan en LT en el mismo punto.


rcLT
rcLT





4. El Plano
Representación del plano:
Las trazas del plano son las intersecciones entre dicho plano y los planos horizontal y vertical, es decir, las trazas del plano están donde corta el plano con PV y PH.
Por lo tanto:
- Traza horizontal del plano es la intersección de este con PH.
- Traza vertical del plano es la intersección de este con PV.


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A
A



Rectas contenidas en un plano:
Para que una recta pertenezca a un plano la traza horizontal de la recta debe estar en la traza horizontal del plano y la traza vertical de la recta debe estar en la traza vertical del plano.
- Recta horizontal del plano: la proyección horizontal de la recta es paralela a la traza horizontal del plano y la proyección vertical de la recta es paralela a LT.



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- Recta frontal del plano: la proyección horizontal de la recta es paralela a LT y la traza vertical de la recta es paralela a la traza horizontal del plano.



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- Recta de máxima pendiente: es aquella que perteneciendo al plano forma máximo ángulo posible con el plano horizontal. La proyección horizontal de la recta es perpendicular a la traza horizontal del plano.



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- Recta de máxima inclinación: es aquella que perteneciendo al plano forma el máximo ángulo posible con el plano vertical. La proyección vertical de la recta es perpendicular a la traza vertical del plano.



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Posiciones del plano:
- Plano proyectante horizontal: es aquel que es perpendicular al plano horizontal; la traza vertical del plano es perpendicular a LT.



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- Plano proyectante vertical: es aquel que es perpendicular al plano vertical; la traza horizontal del plano es perpendicular a LT.



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- Plano de perfil: es aquel que es perpendicular a los dos planos de proyección; las trazas horizontal y vertical del plano son perpendiculares a LT.



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- Plano horizontal: es aquel que es paralelo al plano horizontal; la traza vertical es paralela a LT y la horizontal está en el infinito.



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- Plano vertical: es aquel que es paralelo al plano vertical; la traza horizontal es paralela a LT y la vertical está en el infinito.



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- Plano paralelo a LT: es aquel que es paralelo a LT; las trazas horizontal y vertical del plano son paralelas a LT.



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- Plano que contiene a LT: es aquel que pasa por LT; las dos trazas se confunden con LT.



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Plano definido por dos rectas, estas tienen que cumplir la condicion . Dadas las rectas r y s que se cortan en el punto P:
- Hallar las trazas H y V de ambas rectas.
- La recta que une las dos trazas horizontales Hs y Hr de las rectas es la traza horizontal del plano.
- La rectas que une las dos trazas verticales Vr y Vs de las rectas es la traza vertical del plano.
Como comporbación, las dos trazas del plano se cortan en el mismo punto de LT.



pd2r
pd2r




Trazar el plano definido por un punto y una recta:
Dado el punto P y la recta r:
- Se elige un punto A arbitrario de la recta r.
- Se unen los puntos A y P mediante la recta s.
- Se procede como en el caso anterior, puesto que las rectas r y s se cortan en el punto A.



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Trazar el plano definido por tres puntos:
Dado los puntos A, B, C:
- Se unen dos puntos cualesquiera A y B mediante la recta s.
- Se unen otros dos puntos arbitarios A y C mediante la recta r.
- Se procede como en el primer caso, puesto que las rectas r y s se cortan en el punto A.



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